本文涉及的 paper 我大都写过 reading note 并发表在知乎上，欢迎评论区讨论！背景及引入自渲染方程提出之后，关于渲染的算法都是在研究如何更快计算渲染方程。考虑渲染方程，最难算的是积分部分
int L f|cos theta_i| dw_i
当使用蒙特卡洛算法计算这个积分式时，需要有一个采样概率。采样概率 pdf 与被积函数的形状越像，收敛速度越快。
极端情况下，当 pdf 就是被积函数的常数倍时，一次采样就可以收敛到真实解。现在最常用的是，对 brdf 和 cos 进行重要性采样，即
ppropto f|cos theta_i|
在实时渲染中，还会考虑 visibility 项之类的，此处略过。容易发现，传统的重要性采样方法是略过L
这一项的，无论是光子映射算法，还是同时结合 photon 和 path 的 VCM 。
原因就是这玩意太难算了，你得递归下去。
现在的渲染加速大体分为两派，在近几年非常火爆：
- 渲染去噪。使用极低的采样率，获得一个极高噪声的渲染图像，然后使用重建算法进行修复。常见于实时渲染。
- 路径引导。在渲染前采样大量样本，让估计
L
成为可能，对其有充分的估计后再进行重要性采样。
此后的收敛速度会大大加快。常见于离线渲染。
后者也有了一些产品级应用 [9]。它的优点是依然保持无偏，对 GI 支持更好，但缺点就是需要提前大量采样，对内存和计算量消耗很大。本文是笔者对近几年 path guiding 算法的一个调研与学习总结。首先介绍一下 path guiding 的基本思路与使用方法；然后介绍它的优化目标；之后从 path guiding 的几个特点入手，穿插介绍近几年的工作；最后发表一下感想。
介绍path guiding 旨在拟合概率分布
ppropto L|cos theta_i|
即对于采样点 x，对下一步的递归方向，可以有一个 radiance 上的重要性采样（有时 cos 项放到这里，有时放到 brdf 那里）。至于方法，就是狂采样本，当在场景表面积累的样本足够多时，这个 radiance 就可以被估计出来了。这里强调两个特点：- 大量采样
- 在场景表面存储 radiance pdf
这很容易让人想到 Metropolis Light Transport 算法。MLT 使用马尔可夫链理论，通过不断迭代找到贡献最大的路径，还有它对应的概率。同为在路径空间上的重要性采样，MLT 和 Path Guiding 的理论框架是不同的：Path Guiding 基于传统蒙特卡洛算法理论框架，容易与大部分 path tracing 算法相结合；而 MLT 基于 MCMC 算法框架，基本自成一派。这也导致二者的算法设计角度不同：Path Guiding 考虑到是如何更快更好的拟合 radiance pdf；MLT 是在小心设计马尔可夫转移方程。
如何使用 Path Guiding如果 path guiding 算法可以支持 product sampling，即如果可以得到
ppropto Lf|cos theta_i|
那么大功告成，这个东西就是最优的采样概率分布。如果不能支持，那需要对 path guiding 的 pdf 与 brdf 的 pdf 做多重重要性采样。注意，并不是所有算法都能支持 product sampling，这与 radiance 的表示有关。因为 brdf 有 wo 项，每次采到时才能计算，radiance 的表示必须支持快速查询乘积后的 pdf。这是有办法解决的，比如用某些参数模型表示。如果用显式的 image 或者数据结构表示，那么需要 per pixel 去查询乘积，这是低效的，一般不会这么做。
目前大多算法都不支持 product sampling。[1] 是一个反例，它采用 VMM 参数模型进行自适应 radiance pdf 拟合，可以推导出 product sampling。Path Guiding 的优化目标如果是对 brdf 做重要性采样，因为这玩意是确定的，所以重要性采样参考的函数也是确定的，这完全没有问题。但是，如果是对 radiance 进行重要性采样，因为这个 radiance 也是估出来的，估计的解自然带有方差，如果不考虑这个方差，那么得到的 pdf 不是最优的，因为参考的函数是有误差的。
混合样本因为计算 pdf 跟计算 radiance 直接挂钩，所以实际上 guiding 时计算 radiance 的准确性也会直接影响 pdf 的收敛速度。这有点鸡生蛋蛋生鸡：我做 guiding pdf 是为了让渲染快速收敛，但是只有 radiance 收敛的快 pdf 才收敛的快。不过这也是没办法的事。
所以，就像 VCM 混合了光子和路径会带来好处，guiding 时的采样样本使用混合光子和路径的样本，自然会带来好处。[6] 采取的就是这样的方法。它把采到的混合样本集成到一个 pdf 内，达到了更好的效果。不过按道理来讲，如果有一些区别对待，效果会更好。
PDF 的表示与存储不管怎样，我们采到的总是某个 x y z 范围内（因为要用 kdtree/voxel 组织）二维方向域上的若干点，点上会带有它的 radiance。我们有这些离散点，需要用他们来表示 pdf 。[7] 是一篇 1995 年的工作，他直接在方向域上画格子，在格子上累计，形成了一个直方图，用这个直方图来表示 pdf。
[4] 同样考虑在方向域上画格子累计，但是使用四叉树来维护，因为通常这个分布是不均匀的，有大面积空白，也就是稀疏的。使用稀疏数据结构维护可以自适应分辨率。[1] [3] 是参数化方法，使用参数模型（例如 [3] 是混合高斯模型）来拟合样本点形。
