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张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。
详情介绍
张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。
- 中文名
- 张角定理
- 外文名
- Spread Angle theorem
- 表达式
- sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
- 适用领域
- 平面几何
- 应用学科
- 数学
张角定理内容
逆定理： 如果
，那么B,D,C三点共线。定理的推论：
在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC
张角定理证明
证法1：
设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD
由分角定理，
S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)
→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)
S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)
→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)
(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。
证法2：
由正弦定理，
AD/sinB=BD/sin∠1， (2.1)
AD/sinC=CD/sin∠2， (2.2)
AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)， (2.3)
AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)； (2.4)
那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而
BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC) (2.5)
由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。
将以上两式相加，并将(2.5)代入即可。
证法3：
由面积和得：
0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC
张角定理应用
把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用其去解决几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式等几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题也可以得到简洁统一的解决。
