拓展课程是教师在实施国家课程的过程中，为了更好地提升学生的学科素养，在现有教材的基础上，基于学生的学习能力，教师自己寻找教学资源，自主开发的课程。它是由教师原创并独立操作的课程。
拓展课程的产生是教师在教学中发现教材存在不足或问题，为弥补不足或解决问题，而延伸出的课程，是国家课程的有机补充。是学科教师通过课堂去解决这个学科的不足和问题的。
拓展课程相对国家课程来说是短课程。教学内容可以按照教学需要随机创生，切入点往往较小，教学时间可以是几节课、一周或几周，走的是短平快路线，实施比较灵活，束缚少，更贴近学生发展的需要。
数学拓展课程
数学拓展课程分为以下类别：思维训练类、数学文化类、数学游戏类、综合应用类、操作实践类。
数学文化类：结合学生所学数学的知识拓展其背后的文化，如数的文化、圆的文化、符号的文化等。
数学游戏类：如棋牌游戏课程、华龙道游戏、拓扑游戏等，在棋牌类课程中可以开发五子棋、争上游、扑克小魔术、国际数棋、Uno纸牌等，学生在快乐游戏的同时用到了数学推理、概率问题和策略应用，获得了综合能力的提高。
综合应用类：生活实际应用类课程，如树叶的比、包装中的学问就是一种生活实际应用。
操作实践类：如多米诺骨牌，多米诺骨牌具有强烈的美观性、趣味性、挑战性，可以以点带面，开发出：多米诺骨牌的基本结构、历史变迁、多米诺骨牌游戏的设计和时间控制、多米诺骨牌的复杂设计等等。操作实践类课程还包括火柴的平面立体拼搭、防空洞的设计、纸盒工坊等等。
针对你说的：
2，第一问中针对于p(q^k)情形，若第一人选p(q^(k-1)), 第二人选q^k, 则第一人必输， ！！！若第一人选p(q^(k-1)), 第二个人是不能选q^k的！，因为q^k,是p(q^(k-1)), 的约数。违反了规则1。
A8011244的回答很好，他取一个特殊的约数（最大的约数），下面是一般的情况：1.第一个人写下pq^n，其中k/2≤n＜k，①若k=1，则n只能取n=1，那么第一个人就写下约数1，第二个人若写pq，则直接判输，若写下p（q），则第一个人写下q（p）。②若k≠1，即存在n为整数使得，k/2≤n＜k成立，则第一个人就写下pq^n，剩下的约数只有数1，和q^（k-n）的所有约数。明显q^（k-n）＜q^n，所以q^（k-n）的所有约数都是q^n的约数，所以q^（k-n）的所有约数也都是pq^n的所有约数了，故第二个人无数可写。
2（.跟第1问类似）
设n=P1^k1.P2^k2.......Pr^kr。第一个人写下P1^n1.P2^n2.......Pr^nr，其中k1/2≤n1＜k1，k2/2≤n2＜k2，.......kr/2≤nr＜kr。，①若k1，k2.....kr都等于1，那么第一个人就写下约数1，第二个人若写x，则第一个人就写n/x。若②k1，k2.....kr不都等于1，则第一个人写下P1^n1.P2^n2.......Pr^nr，显然剩下的约数只有数1，和P1^（k1-n1）.P2^（k2-n2）.......Pr^（kr-nr）的所有约数。跟第一问一样地，第二个人无数可写。
